【题目】综合与探究
如图,已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,对称轴为直线,顶点为.
(1)求抛物线的解析式及点坐标;
(2)在直线上是否存在一点,使点到点的距离与到点的距离之和最小?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在轴上取一动点,,过点作轴的垂线,分别交抛物线,,于点,,.
①判断线段与的数量关系,并说明理由
②连接,,,当为何值时,四边形的面积最大?最大值为多少?
【答案】(1),点坐标为;(2)点的坐标为;(3)①;②当为-2时,四边形的面积最大,最大值为4.
【解析】
(1)用待定系数法即可求出抛物线解析式,然后化为顶点式求出点D的坐标即可;
(2)利用轴对称-最短路径方法确定点M,然后用待定系数法求出直线AC的解析式,进而可求出点M的坐标;
(3)①先求出直线AD的解析式,表示出点F、G、P的坐标,进而表示出FG和FP的长度,然后即可判断出线段与的数量关系;
②根据割补法分别求出△AED和△ACD的面积,然后根据列出二次函数解析式,利用二次函数的性质求解即可.
解:(1)由抛物线与轴交于,两点得,
解得,
故抛物线解析式为,
由得点坐标为;
(2)在直线上存在一点,到点的距离与到点的距离之和最小.
根据抛物线对称性,
∴,
∴使的值最小的点应为直线与对称轴的交点,
当时,,
∴,
设直线解析式为直线,
把、分别代入得
,解之得:,
∴直线解析式为,
把代入得,,
∴,
即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为;
(3)①,
理由为:
设直线解析式为,
把、分别代入直线得
,解之得:,
∴直线解析式为,
则点的坐标为,
同理的坐标为,
则,,
∴;
②∵, ,,
∴AO=3,DM=2,
∴S△ACD=S△ADM+S△CDM=.
设点的坐标为,
,
∴
,
∴当为-2时,的最大值为1.
∴,
∴当为-2时,四边形的面积最大,最大值为4.
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【题目】如图:在平面直角坐标系中,直线:与轴交于点,经过点的抛物线的对称轴是.
(1)求抛物线的解析式.
(2)平移直线经过原点,得到直线,点是直线上任意一点,轴于点,轴于点,若点在线段上,点在线段的延长线上,连接,,且.求证:.
(3)若(2)中的点坐标为,点是轴上的点,点是轴上的点,当时,抛物线上是否存在点,使四边形是矩形?若存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线(a≠0)与y轴交与点C(0,3),与x轴交于A、B两点,点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设△MBN的面积为S,点M运动时间为t,试求S与t的函数关系,并求S的最大值;
(3)在点M运动过程中,是否存在某一时刻t,使△MBN为直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.
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【题目】“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章,在2019年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中,有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士.如图是四位院士(依次记为、、、).为让同学们了解四位院士的贡献,老师设计如下活动:取四张完全相同的卡片,分别写上、、、四个标号,然后背面朝上放置,搅匀后每个同学从中随机抽取一张,记下标号后放回,老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料,并做成小报.
(1)班长在四种卡片中随机抽到标号为C的概率为______.
(2)请用画树状图或列表的方法求小明和小华查找不同院士资料的概率.
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【题目】如图,△ABC中,已知AB=AC,BC平分∠ABD
(1) 若∠A=100°,则∠1的度数为_________
(2) 判断AC与BD的位置关系,并证明你的结论
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【题目】在平面直角坐标系中,直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A.
(1)直接写出:b的值为 ;c的值为 ;点A的坐标为 ;
(2)点M是线段BC上的一动点,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.设点D的横坐标为m.
①如图1,过点D作DM⊥BC于点M,求线段DM关于m的函数关系式,并求线段DM的最大值;
②若△CDM为等腰直角三角形,直接写出点M的坐标 .
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【题目】如图,在中,,平分,交于点,点在上,经过两点,交于点,交于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若的半径是,是弧的中点,求阴影部分的面积(结果保留和根号).
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