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【题目】综合与探究

如图,已知抛物线轴交于两点,与轴交于点,对称轴为直线,顶点为.

(1)求抛物线的解析式及点坐标;

(2)在直线上是否存在一点,使点到点的距离与到点的距离之和最小?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)轴上取一动点,过点轴的垂线,分别交抛物线,于点.

①判断线段的数量关系,并说明理由

②连接,当为何值时,四边形的面积最大?最大值为多少?

【答案】(1),点坐标为(2)的坐标为(3);②当-2时,四边形的面积最大,最大值为4.

【解析】

1)用待定系数法即可求出抛物线解析式,然后化为顶点式求出点D的坐标即可;

2)利用轴对称-最短路径方法确定点M,然后用待定系数法求出直线AC的解析式,进而可求出点M的坐标;

3)①先求出直线AD的解析式,表示出点FGP的坐标,进而表示出FGFP的长度,然后即可判断出线段的数量关系;

②根据割补法分别求出△AED和△ACD的面积,然后根据列出二次函数解析式,利用二次函数的性质求解即可.

解:(1)由抛物线轴交于两点得

解得

故抛物线解析式为

得点坐标为

(2)在直线上存在一点,到点的距离与到点的距离之和最小.

根据抛物线对称性

使的值最小的点应为直线与对称轴的交点,

时,

设直线解析式为直线

分别代入

,解之得:

直线解析式为

代入得,

即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为

(3)①

理由为:

设直线解析式为

分别代入直线

,解之得:

直线解析式为

则点的坐标为

同理的坐标为

AO=3DM=2

SACD=SADM+SCDM=.

设点的坐标为

-2时,的最大值为1.

-2时,四边形的面积最大,最大值为4.

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