Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若AD=2$\sqrt{3}$，AE=6，求EC的长．

Answer 1

分析 （1）取BD的中点0，连结OE，如图，由∠BED=90°，根据圆周角定理可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO=∠C=90°，于是可根据切线的判定定理判断AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理得6²+r²=（r+2$\sqrt{3}$）²，解得r=2$\sqrt{3}$，根据平行线分线段成比例定理，由OE∥BC得$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AO}{OB}$，然后根据比例性质可计算出EC．

解答 （1）证明：取BD的中点0，连结OE，如图，
∵DE⊥EB，
∴∠BED=90°，
∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠EB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴OE⊥AE，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，则OA=OD+DA=r+2$\sqrt{3}$，OE=r，
在Rt△AEO中，∵AE²+OE²=AO²，
∴6²+r²=（r+2$\sqrt{3}$）²，解得r=2$\sqrt{3}$，
∵OE∥BC，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AO}{OB}$，即$\frac{6}{CE}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$，
∴CE=3．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理．