Question

如图，若干个正三角形的一边在同一条直线a上，这边对的顶点也在同一条直线b上，它们的面积依次为S₁，S₂，S₃，S₄…若S₁=1，S₂=2，则S₆等于（　　）

• A、16
• B、24
• C、32
• D、不能确定

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：易证△ABF∽△BCG，则有

AF

BG

=

BF

CG

．易得△AEF∽△BFG∽△CGH，则有

S△AEF

S△BFG

=（

AF

BG

）²，

S△BFG

S△CGH

=（

BF

CG

）²，从而可得S₂²=S₁•S₃，同理S₃²=S₂•S₄，S₄²=S₃•S₅，S₅²=S₄•S₆，就可求出S₆，从而解决问题．

解答：解：∵△AEF、△BFG、△CGH都是等边三角形，
∴∠AFE=∠BGF=60°，∠BFG=∠CGH=60°，
∴AF∥BG，BF∥CG，
∴∠BAF=∠CBG，∠ABF=∠BCG，
∴△ABF∽△BCG，
∴

AF

BG

=

BF

CG

．
∵△AEF、△BFG、△CGH都是等边三角形，
∴△AEF∽△BFG∽△CGH，
∴

S△AEF

S△BFG

=（

AF

BG

）²，

S△BFG

S△CGH

=（

BF

CG

）²，
∴

S△AEF

S△BFG

=

S△BFG

S△CGH

，
∴

S1

S2

=

S2

S3

，
∴S₂²=S₁•S₃．
∵S₁=1，S₂=2，
∴S₃=4．
同理S₃²=S₂•S₄，则有S₄=8；
S₄²=S₃•S₅，则有S₅=16；
S₅²=S₄•S₆，则有S₆=32．
故选：C．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，运用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决本题的关键．