Question

【题目】如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C(不需要证明)；

(1)如图②，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.求证：△ABD≌△CAF；

(2)如图③，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE与△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC.求证：△ABE≌△CAF.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

(1)依据三角形的内角和定理和∠MAN＝90°，易得出求出∠ABD＝∠CAF，从而再结合其他条件依据AAS证两三角形全等即可；(2)根据已知条件和三角形的外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可.

（1）∵ ∠MAN=90°

∴ ∠BAD+∠CAF=90°.

∵CF⊥AE，BD⊥AE BE＝CF，

∴ ∠BDA=∠CFA= 90°， ∠BAD+∠DBA=90°

∴ ∠DBA＝∠CAF，

又∵在△ABD和△CAF中，AB＝AC， ∠BDA=∠CFA，∠DBA＝∠CAF，

∴，∴△ABD≌△CAF(AAS)．

（2）∵∠1、∠2分别是△ABE与△CAF的外角

∴ ∠BEA＝∠CFA

∵∠1是△ABE的外角，∠1=∠BAC

∴ ∠1＝∠EBA+∠BAE

∠BAC＝∠EBA+∠CAF

∴ ∠EBA＝∠CAF，

又∵在△ABE和△CAF中，AB＝AC， ∠BEA＝∠CFA，∠EBA＝∠CAF，

∴，∴△ABE≌△CAF(AAS)．