Question

【题目】探索题：

（x－1）（x＋1）＝x－1

（x－1）（x＋x＋1）＝x－1

（x－1）（x＋x＋x＋1）＝x－1

（x－1）（x＋ x＋x＋x＋1）＝x－1

（1）观察以上各式并猜想：

①（x－1）（x＋x＋x＋ x＋x＋x＋1）＝ 　　　　；

②（x－1）（x＋x＋x＋… x＋x＋x＋1）＝ 　　　　；

（2）请利用上面的结论计算：

①（－2）＋（－2）＋（－2）＋…＋（－2）＋1

②若 x＋x＋…＋x＋x＋x＋1＝0，求 x的值．

Answer 1

【答案】（1）①x7-1，②xn+1-1；（2）①，②1．

【解析】

（1）①②根据已知式子进行探寻规律即可；
（2）①将原始乘以（-2-1）后除以（-2-1），再运用公式计算即可；
②将原始乘以（x-1）后除以（x-1），再运用公式计算即可．

（1）①（x-1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7-1，
②（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x3+x2+x+1）=xn+1-1，
故答案为x7-1，xn+1-1；
（2）①（-2）50+（-2）49+（-2）48+…+（-2）+1=
=（-2-1）×[（-2）50+（-2）49+（-2）48+…+（-2）+1]÷（-2-1）
=[（-2）51-1]÷（-3）
=（-251-1）÷（-3）
= ，
②x1007+x1006+…+x3+x2+x+1
=（x-1）（x1007+x1006+…+x3+x2+x+1）÷（x-1）
=（x1008-1）÷（x-1），
∴x1008-1=0，
x1008=1，
∴x3024=（x1008）3=1．