Question

已知，抛物线y=-

3

x²-2

3

（a-1）x-

3

（a²-2a）与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜1＜x₂．
（1）求A、B两点的坐标（用a表示）；
（2）设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）由于A、B两点是抛物线与x轴的交点，令抛物线的y=0，所得方程的根即为A、B的横坐标；
（2）根据A、B的坐标可求出AB的长，以AB为底，C点纵坐标的绝对值为高即可求出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵拋物线与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁、x₂是关于x的方程-

3

x²-2

3

（a-1）x-

3

（a²-2a）=0的解；
方程可化简为x²+2（a-1）x+（a²-2a）=0；
解方程，得x=-a或x=-a+2；
∵x₁＜x₂，-a＜-a+2，（1分）
∴x₁=-a，x₂=-a+2
∴A、B两点的坐标分别为A（-a，0），B（-a+2，0）（2分）

（2）∵AB=2，顶点C的纵坐标为

3

，
∴△ABC的面积等于

3

．

点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，三角形面积的求法，熟练掌握并能灵活运用抛物线、两点间的距离公式等相关知识是解答此题的关键．