【题目】如图①,直线y=x+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).
(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;
(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC,记S=S四边形MAOC﹣S△BOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;
(3)如图②,将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′,过点M′作M′E⊥x轴于点E,交直线A′C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣
x+4;(2)S有最大值为
,此时,M(﹣
,5);点P的坐标为(2,0)或(﹣
,0).
【解析】
试题分析:(1)根据一次函数的解析式y=x+4可求出点A、C的坐标,再把A、B、C的坐标代入,利用待定系数法求二次函数的解析式;(2)由于M在抛物线F1上,所以可设M(a,﹣
a2﹣
a+4),分别计算S四边形MAOC和S△BOC,过点M作MD⊥x轴于点D,则S四边形MAOC的值等于△ADM的面积与梯形DOCM的面积之和,求得S四边形MAOC的值,再由S=S四边形MAOC﹣S△BOC表示出S与a的二次函数关系,根据二次函数的性质即可得S最大时点M的坐标及S的最大值;(3)由于不确定点P的具体位置,所以需要将点P的位置进行分类讨论,当点P在A′的右边时,此情况是不存在;当点P在A′的左边时,此时∠DA′P=∠CAB′,若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似,则分为以下两种情况进行讨论:①
;②
,分别求得点P的坐标即可.
试题解析:(1)令y=0代入y=x+4,
∴x=﹣3,
A(﹣3,0),
令x=0,代入y=x+4,
∴y=4,
∴C(0,4),
设抛物线F1的解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),
把C(0,4)代入上式得,a=﹣,
∴y=﹣x2﹣
x+4,
(2)如图①,设点M(a,﹣a2﹣
a+4)
其中﹣3<a<0
∵B(1,0),C(0,4),
∴OB=1,OC=4
∴S△BOC=OBOC=2,
过点M作MD⊥x轴于点D,
∴MD=﹣a2﹣
a+4,AD=a+3,OD=﹣a,
∴S四边形MAOC=ADMD+
(MD+OC)OD
=ADMD+
ODMD+
ODOC
=+
=+
=×3(﹣
a2﹣
a+4)+
×4×(﹣a)
=﹣2a2﹣6a+6
∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC
=(﹣2a2﹣6a+6)﹣2
=﹣2a2﹣6a+4
=﹣2(a+)2+
∴当a=﹣时,
S有最大值,最大值为
此时,M(﹣,5);
(3)如图②,由题意知:M′(),B′(﹣1,0),A′(3,0)
∴AB′=2
设直线A′C的解析式为:y=kx+b,
把A′(3,0)和C(0,4)代入y=kx+b,
得:,
∴
∴y=﹣x+4,
令x=代入y=﹣
x+4,
∴y=2
∴
由勾股定理分别可求得:AC=5,DA′=
设P(m,0)
当m<3时,
此时点P在A′的左边,
∴∠DA′P=∠CAB′,
当=
时,△DA′P∽△CAB′,
此时, =
(3﹣m),
解得:m=2,
∴P(2,0)
当=
时,△DA′P∽△B′AC,
此时, =
(3﹣m)
m=﹣,
∴P(﹣,0)
当m>3时,
此时,点P在A′右边,
由于∠CB′O≠∠DA′E,
∴∠AB′C≠∠DA′P
∴此情况,△DA′P与△B′AC不能相似,
综上所述,当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时,点P的坐标为(2,0)或(﹣,0).
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【题目】在平面直角坐标系中,线段AB的端点A的坐标为(-3,2),将其先向右平移4个单位,再向下平移3个单位,得到线段A′B′,则点A对应点A′的坐标为 .
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【题目】某天一个巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻,他从岗亭出发,规定岗亭为原点,向北为正,这段时间行驶记录如下(单位:千米) +10,-9,+7,-15,+6,-14,+4,-2
(1)最后停留的地方在岗亭的哪个方向?距离岗亭多远?
(2)若摩托车行驶,每千米耗油0.06升,每升6.2元,且最后返回岗亭,这一天耗油共需多少元?
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【题目】日常生活中有许多现象应用了反比例函数,下列现象:①购买同一商品,买的越多,花钱越多;②百米赛跑时,用时越短,成绩越好;③把浴盆放满水,水流越大,用时越短;④从网上下载同一文件,网速越快,用时越少.其中符合反比例关系的现象有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】有一个长方体,如图,(单位:厘米)现将它“切成”完全一样的三个长方体。
(1)共有( )种切法。
(2)怎样切,使切成三块后的长方体的表面积的和比原来长方体的表面积增加得最多,算一算表面积最多增加了多少?
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【题目】下列因式分解错误的是( )
A.3x2﹣6xy=3x(x﹣2y)B.x2﹣9y2=(x﹣3y)(x+3y)
C.4x2+4x+1=2(x+1)2D.2x2﹣2=2(x+1)(x﹣1)
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