【题目】已知抛物线与
轴交于
,
两点,与
轴交于点
,点
和点
的坐标分别为
,抛物线的对称轴为
,
为抛物线的顶点.
求抛物线的解析式.
抛物线的对称轴上是否存在一点
,使
为等腰三角形?若存在,写出点
点的坐标,若不存在,说明理由.
点
为线段
上一动点,过点
作
轴的垂线,与抛物线交于点
,求四边形
面积的最大值,以及此时点
的坐标.
【答案】;
存在满足条件的
点,其坐标为
或
或
或
;
四边形
面积的最大值
,此时点
的坐标为
.
【解析】
(1)由B、C的坐标,结合抛物线对称轴,根据待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由抛物线解析式可求得D点坐标,可设P点坐标为(1,t),则可表示出PC、PD和CD的长,由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三种情况分别得到关于t的方程,可求得P点坐标;
(3)由B、C可求得直线BC解析式,可设出F点坐标,则可表示出E点坐标,从而可求得EF的长,则可表示出△CBF的面积,从而可表示出四边形ACFB的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值,及E点的坐标.
∵点
和点
的坐标分别为
,抛物线的对称轴为
,
∴,解得
,
∴抛物线解析式为;
∵
,
∴,且
,
∵点为对称轴上的一点,
∴可设,
∴,
,
,
∵为等腰三角形,
∴分、
和
三种情况,
①当时,则
,解得
,此时
点坐标为
;
②当时,则
,解得
或
(与
点重合,舍去),此时
点坐标为
;
③当时,则
,解得
或
,此时
点坐标为
或
;
综上可知存在满足条件的点,其坐标为
或
或
或
;
∵
,
,
∴直线解析式为
,
∵点在直线
上,
点在抛物线上,
∴设,
,
∵点在线段
下方,
∴,
∴,且
,
∴,
∵,
∴当时,
有最大值,最大值为
,此时
点坐标为
,
综上可知四边形面积的最大值
,此时点
的坐标为
.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A﹙﹣2,﹣5﹚,C﹙5,n﹚,交y轴于点B,交x轴于点D.
(1)求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式;
(2)连接OA,OC.求△AOC的面积.
(3)当kx+b>时,请写出自变量x的取值范围.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】学校统筹安排大课间体育活动,在各班随机选取了一部分学生,分成四类活动:“跳绳”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”进行调查,整理收集到的数据,绘制成如图的两幅统计图.
(1)学校采用的调查方式是 ;学校在各班随机选取了 名学生;
(2)补全统计图中的数据:羽毛球 人、乒乓球 人、其他 %;
(3)该校共有900名学生,请估计喜欢“跳绳”的学生人数.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC交⊙O于点D,E是的中点,AE与BC交于点F,∠C=2∠EAB.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知CD=4,CA=6,
①求CB的长;
②求DF的长.
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