Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA=2OC．

（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；

（2）求tan∠MAC的值；

（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD=45°，求点D的坐标．

Answer 1

解：（1）∵C（0，﹣3），

∴OC=3．y=x²+bx﹣3．

∵OA=2OC，

∴OA=6．

∵a=＞0，点A在点B右侧，抛物线与y轴交点C（0，﹣3）．

∴A（6，0）．

∴0=36+6b﹣3，

∴b=﹣1．

∴y=x²﹣x﹣3，

∴y=（x﹣2）²﹣4，

∴M（2，﹣4）．

答：抛物线的解析式为y=x²﹣x﹣3，M的坐标为（2，﹣4）；

（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E，垂足为点E．

∴∠AHM=∠NEM=90°．

在Rt△AHM中，HM=AH=4，由勾股定理，得

AM=4，

∴∠AMH=∠HAM=45°．

设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得

，

解得：，

∴直线AC的表达式为y=x﹣3．

当x=2时，y=﹣2，

∴N（2，﹣2）．

∴MN=2．

∵∠NEM=90°，∠NME=45°，

∴∠MNE=∠NME=45°，

∴NE=ME．

在Rt△MNE中，

∴NE²+ME²=NM²，

∴ME=NE=．

∴AE=AM﹣ME=3

在Rt△AEN中，tan∠MAC=．

答：tan∠MAC=；

（3）如图2，①当D点在AC上方时，

∵∠CAD₁=∠D₁AH+∠HAC=45°，且∠HAM=∠HAC+∠CAM=45°，

∴∠D₁AH=∠CAM，

∴tan∠D₁AH=tan∠MAC=．

∵点D₁在抛物线的对称轴直线x=2上，

∴D₁H⊥AH，

∴AH=4．

在Rt△AHD₁中，

D₁H=AH•tan∠D₁AH=4×=．

∴D₁（2，）；

②当D点在AC下方时，

∵∠D₂AC=∠D₂AM+∠MAC=45°，且∠AMH=∠D₂AM+∠AD₂M=45°，

∴∠MAC=∠AD₂M．

∴tan∠AD₂H=tan∠MAC=．

在Rt△D₂AH中，D₂H=．

∴D₂（2，﹣12）．

综上所述：D₁（2，）；D₂（2，﹣12）．