Question

18．如图，AB是⊙O的直径，点D为弦BC延长线上的一点，∠B=∠CAD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若点C是BD的中点，且AC=2$\sqrt{2}$，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠B+∠BAC=90°，证出∠BAD=90°，即可得出结论；
（2）连接OC；先证出OC是△ABD的中位线，得出OC∥AD，得出∠AOC=90°，证出△OAC是等腰直角三角形，求出OA，阴影部分的面积=扇形OAC的面积-△OAC的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠B=∠CAD，
∴∠CAD+∠BAC=90°，
即∠BAD=90°，
∴AD⊥AB，
∴AD是⊙O的切线；
（2）连接OC，如图所示：
∵OA=OB，点C是BD的中点，
∴OC是△ABD的中位线，
∴OC∥AD，
∴∠AOC=∠BOC=∠BAD=90°，
∵OA=OC，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=2，
∴阴影部分的面积=扇形OAC的面积-△OAC的面积=$\frac{90π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2=π-2．

点评 本题考查了切线的判定方法、圆周角定理、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、扇形面积的计算公式、三角函数；熟练掌握圆周角定理和切线的判定方法，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．