Question

如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB=AD+BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：证明线段的和差倍分问题常用截长补短的方法．在线段AB上截取BE=BC，连接DE．则只需证明AD=AE即可．结合角度证明∠ADE=∠AED．

解答：证明：在线段BA上截取BE=BC，连接DE．

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD=

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∠ABC．
在△CBD和△EBD中，

BE=BC ∠CBD=∠EBD BD=BD

，
∴△CBD≌△EBD（SAS），
∴∠BED=∠ACB=108°，∠CDB=∠EDB．
又∵AB=AC，∠ACB=108°，∠CAB=∠ABC=

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×（180°-108°）=36°，
∴∠CBD=∠EBD=18°．
∴∠CDB=∠EDB=180°-18°-108°=54°．
∴∠ADE=180°-∠CDB-∠EDB=180°-54°-54°=72°．
∴∠DEA=180°-∠DEB=180°-108°=72°．
∴∠ADE=∠AED．
∴AD=AE．
∴AB=BE+EA=CB+AD．

点评：此题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，综合性较强．