Question

如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM=DN；
（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：常规题型

分析：（1）连接AD，可得∠ADM=∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM=DN；
（2）连接AD，可得∠ADM=∠CDN，可证△AMD≌△CND，可得DM=DN．

解答：解：（1）连接AD，
∵D为BC中点，
∴AD=BD，∠BAD=∠C，

∵∠ADM+∠ADN=90°，∠ADN+∠CDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
在△AMD和△CND中，

∠ADM=∠CDN AD=CD ∠BAD=∠C

，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN．
（2）连接AD，∵D为BC中点，∴AD=BD，∠BAD=∠C，

∵∠ADM+∠MDC=90°，∠MDC+∠CDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
∵∠MAD=MAC+DAC=135°，∠NCD=180°-∠ACD=135°
在△AMD和△CND中，

∠ADM=∠CDN AD=CD ∠MAD=∠NCD

，
∴△AMD≌△CND（ASA），
∴DM=DN．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AMD≌△CND是解题的关键．