Question

【题目】如图，点A、B是双曲线y＝（k为正整数）与直线AB的交点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程：x2+kx﹣k﹣1＝0的两根

（1）填表：

k	1	2	3	…	n（n为正整数）
A点的横坐标
B点的横坐标

（2）当k＝n（n为正整数）时，试求直线AB的解析式（用含n的式子表示）；

（3）当k＝1、2、3、…n时，△ABO的面积，依次记为S1、S2、S3…Sn，当Sn＝40时，求双曲线y＝的解析式．

Answer 1

【答案】（1）1，1，1，…，1；﹣2，﹣3，﹣4，…，﹣n﹣1（2）y＝x+n（3）y=

【解析】

（1）根据k的值，即可得到一元二次方程的解，进而得到A点的横坐标，B点的横坐标；（2）根据当k＝n（n为正整数）时，A点的横坐标为1，B点的横坐标为﹣n﹣1，可得A（1，n+1），B（﹣n﹣1，﹣1），运用待定系数法即可得出直线AB的解析式；（3）先求得直线AB与y轴交于（0，n），再根据当Sn＝40时，×n（n+1+1）＝40，即可得到n＝8，进而得出A（1，9），据此可得双曲线的解析式为y＝．

（1）当k＝1时，方程x2+x﹣2＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣2；

当k＝2时，方程x2+2x﹣3＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣3；

k＝3时，方程x2+3x﹣4＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣4；

k＝n时，方程x2+nx﹣n﹣1＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣n﹣1；

∵点A在第一象限，点B在第三象限，

∴A点的横坐标依次为：1，1，1，…，1；

B点的横坐标依次为：﹣2，﹣3，﹣4，…，﹣n﹣1；

故答案为：1，1，1，…，1；﹣2，﹣3，﹣4，…，﹣n﹣1；

（2）当k＝n（n为正整数）时，A点的横坐标为1，B点的横坐标为﹣n﹣1，

令x＝1，则y＝＝n+1；

令x＝﹣n﹣1，则y＝＝﹣1；

∴A（1，n+1），B（﹣n﹣1，﹣1），

设直线AB的解析式为y＝px+q，则

，

解得 ，

∴直线AB的解析式为y＝x+n；

（3）∵直线y＝x+n中，令x＝0，则y＝n，即直线AB与y轴交于（0，n），

∴当Sn＝40时，×n（n+1+1）＝40，

解得n＝8（负值已舍去），

∴A（1，9），

∴双曲线的解析式为：y＝．