Question

16．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，BC的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代换得到一对内错角相等，得到AD与OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；
（2）由∠ACD的度数求出∠OCA为60°，确定出三角形AOC为等边三角形，由半径为2求出AC的长，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的长．

解答 解：（1）连接OC．
∵AO=CO，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∵AD⊥EF，
∴∠ACD+∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠OCA=90°，
∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线．
（2）连接BC．
由已知得直径AB=4，∠BCA=90°，
∵∠OCD=90°∠ACD=30°，
∴∠OCA=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OA=OC=2，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．