Question

【题目】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，再连接BE，（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．

（1）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF． ①求证：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明

（2）问题拓展：如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：①如图2，延长ED到点G，使DG=ED，连结GF，GC，

∵ED⊥DF，

∴EF=GF，

∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

在△BDE和△CDG中，

，

∴△DBE≌△DCG（SAS），

∴BE=CG，

∵CG+CF＞GF，

∴BE+CF＞EF；

②线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2=EF2．

证明：如图2，

∵∠A=90°，

∴∠B+∠ACB=90°，

由①可得，△DBE≌△DCG，EF=GF，

∴BE=CG，∠B=∠GCD，

∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，

∴Rt△CFG中，CF2+GC2=GF2，

∴BE2+CF2=EF2；

（2）解：线段BE、CF、EF之间的数量关系为：EF=BE+CF，

理由：如图3，延长AC到G，使CG=BE，

∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，

∴∠B=∠DCG，

在△DBE和△DCG中，

，

∴△DBE≌△DCG（SAS），

∴DE=DG，∠BDE=∠CDG，

∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，

∴∠BDE+∠CDF=60°，

∴∠CDG+∠CDF=60°，

∴∠EDF=∠GDF，

在△EDF和△GDF中，

，

∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴EF=GF，

∵GF=CG+CF，

∴GF=BE+CF，

∴EF=BE+CF．

【解析】（1）①延长ED到点G使DG=ED，连结GF，GC，就有EF=GF，连结FG、CG，可证△BED≌△CDG，则CG=BE，由三角形的三边关系就可以得出结论；②由∠A=90°就可以得出∠A+∠ACB=90°，就可以得出∠FCG=90°，由勾股定理就可以得出结论；（2）延长AC到G使CG=BE，连结DG可以得出△DBE≌△DCG就有DE=DG，∠BDE=∠CDG，由∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得出∠BDE+∠CDF=60°，进而得出∠FDG=60°，就有∠EDF=∠GDF，得出△EDF≌△GDF，得出结论．