Question

【题目】如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB= ，BC=1，连结BF，分别交AC，DC，DE于点P，Q，R．

（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；
（2）求AP：PC的值；
（3）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答．（根据提出问题的层次和解答过程平分）

Answer 1

【答案】
（1）

证明：据题意知BC=CE=EG=1，BG=3，FG=AB= ，

在△BFG和△FEG中，

∵ = ，∠G=∠G

∴△BFG∽△FEG；

（2）

解：∵△ABC≌△FEG，

∴∠ACB=∠G，

∴PC∥FG，

∴△BPC～△BFG，

∴ ，即 = ，

解得：PC= ，

∵AC=AB= ，

∴AP=AC﹣PC= ，

∴ = =2．

（3）

求证：∠PCB=∠REB，②求证：PC∥RE，答案不唯一．

证明：∵△ABC≌△DCE，

∴∠PCB=∠REB，

∴PC∥RE．

【解析】（1）已知三个全等的等腰三角形，以及边长，所以可求得各线段的长，即可求得线段的比值，由公共角即可证得△BFG∽△FEG；（2）利用△BPC～△BFG求得PC的长，进而可知AP的长，即可得答案．（3）可以提问求证：∠PCB=∠REC，这个问题只需要运用两直线平行，同位角相等进行解答．此题为发散性题型，不唯一．
【考点精析】本题主要考查了平行线的性质和相似三角形的判定的相关知识点，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）才能正确解答此题．