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【题目】如图,在ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=10,在DCE中,∠DCE=90°,DC=EC=6,点D在线段AC上,点E在线段BC的延长线上.将DCE绕点C旋转60°得到D′CE′(点D的对应点为点D′,点E的对应点为点E′),连接AD′、BE′,过点CCNBE′,垂足为N,直线CN交线段AD′于点M,则MN的长为_____

【答案】7+7﹣

【解析】

将△DCE绕点C旋转60°得到△D′CE′,可分为顺时针和逆时针旋转两个图形;先求顺时针旋转的情形,如图作辅助线,先解Rt△BFC,再解△BE′FBE′,用“面积法”求CN,证明△ACG≌△BCN,△CD′H≌△CE′N,将有关线段转化,可求CM,从而可求MN.

若将△DCE绕点C顺时针旋转60°得到△D′CE′,

如图中左边所示,过点BE′C的垂线交其延长线于F点,过点D′CM的垂线交CMH点,过A点作CM的垂线交其延长线于G点.

∵∠ACD′=60°,ACB=D′CE′=90°,

∴∠BCE′=360°﹣ACD′﹣ACB﹣D′CE′=120°.

∴∠BCF=180°﹣BCE′=60°,

BF=sinBCFBC=×10=5

SBCE′=BFCE′=15

∵∠ACG+∠BCN=90°,BCN+∠CBN=90°,

∴∠ACG=CBN,

又∵AC=BC,

RtACGRtCBN,

AG=CN,CG=BN.

同理△CD′H≌△E′CN,D′H=CN,CH=NE′.

AG=D′H,

在△AMG和△D′MH中,

∴△AMG≌△D′MH,

HM=MG,

MGH中点,CM=(CG+CH)=(NB+NE′)=BE′.

又∵BF=5BCF=60°,

CF=5,FE′=CF+CE′=11,

BE′=

CM=BE′=7.

又∵SBCE′=CNBE′,

CN=2SBCE′÷BE′=

MN=CM+CN=7+

②同理,当△CDE逆时针旋转60°时,MN如图中右边所示,MN=7﹣

故答案为:7+7﹣

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1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.

方法1______;方法2______

2)观察图2,请你写出下列三个代数式:(a+b2a2+b2ab之间的等量关系.______

3)类似的,请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证:

a+b)(a+2b=a2+3ab+2b2

4)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:

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48

   

   

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