【题目】乘法公式的探究及应用.
数学活动课上,老师准备了若干个如图1的三种纸片,A种纸片边长为a的正方形,B种纸片是边长为b的正方形,C种纸片长为a、宽为b的长方形,并用A种纸片一张,B种纸片一张,C种纸片两张拼成如图2的大正方形.
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.
方法1:______;方法2:______.
(2)观察图2,请你写出下列三个代数式:(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系.______;
(3)类似的,请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证:
(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2
(4)根据(2)题中的等量关系,解决如下问题:
①已知:a+b=5,a2+b2=11,求ab的值;
②已知(x-2016)2+(x-2018)2=34,求(x-2017)2的值.
【答案】(1) (a+b)2;a2+b2+2ab;(2)(a+b)2=a2+2ab+b2;(3)见解析;(4)①7;②16.
【解析】
(1)第一种方法:直接用正方形的面积公式求解;第二种方法将其看做是一个两个正方形和两个长方形,分别求出面积再求和即可.
(2)依据(1)中的代数式,即可得到所求的关系;
(3)画出长为a+2b,宽为a+b的长方形,即可完成验证;
(4)①依据a+b=5,可得(a+b)2=25,进而得出a2+b2+2ab=25,再将a2+b2=11,即可得到ab=7;②设x-2017=a,则x-2016=a+1,x-2018=a-1,依据(x-2016)2+(x-2018)2=34,即可得到∴(a+1)2+(a-1)2=34,然后化简得a2=16,即可完成解答.
解:(1)图2大正方形的面积=(a+b)2;图2大正方形的面积=a2+b2+2ab;
故答案为:(a+b)2;a2+b2+2ab;
(2)由题可得(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系为:(a+b)2=a2+2ab+b2;
故答案为:(a+b)2=a2+2ab+b2;
(3)如图所示,
(4)①∵a+b=5,
∴(a+b)2=25,即a2+b2+2ab=25,
又∵a2+b2=11,
∴ab=7;
②设x-2017=a,则x-2016=a+1,x-2018=a-1,
∵(x-2016)2+(x-2018)2=34,
∴(a+1)2+(a-1)2=34,
∴a2+2a+1+a2-2a+1=34,
∴2a2+2=34,
∴2a2=32,
∴a2=16,
即(x-2017)2=16.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=60°,点D、E分别为边BC、AC上的点,连接DE,过点E作EF∥BC交AB于F,若BC=CE,CD=6,AE=8,∠EDB=2∠A,则BC=_____.
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【题目】某商场经销水杯,电热水壶两种商品,水杯每个进价15元,售价20元;电热水壶每个进价35元,售价45元.
(1)若该商场同时购进水杯、电热水壶共100件,恰好用去2700元,求能购进水杯、电热水壶各多少个?
(2)商场要求小明用1050元的钱(必须全部用完)采购水杯、电热水壶(或其中一种商品),且还要求总利润不少于340元(假设商品全部卖完),请你确定所有的进货方案.
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【题目】如图,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D是线段CE的中点,AD⊥BC于点D.若∠B=36°,BC=8,则AB的长为__.
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【题目】为了了解某校学生的身高状况,随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查.已知抽取的样本中,男生、女生的人数相同,根据所得数据绘制如图所示的统计图表:
组别 | 身高(cm) |
A | x<150 |
B | 150≤x<155 |
C | 155≤x<160 |
D | 160≤x<165 |
E | x≥165 |
已知女生身高在A组的有8人,根据图表中提供的信息,回答下列问题:
(1)男生身高的中位数落在 组(填组别字母序号);
(2)在样本中,身高在150≤x<155之间的人数共有 人,身高人数最多的在 组(填组别序号);
(3)已知该校共有男生400人、女生420人,请估计身高不足160cm的学生约有多少人?
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【题目】如图在直角坐标系中,四边形ABCO为正方形,A点的坐标为(a,0),D点的坐标为(0,b),且a,b满足(a﹣3)2+|b﹣|=0.
(1)求A点和D点的坐标;
(2)若∠DAE=∠OAB,请猜想DE,OD和EB的数量关系,说明理由.
(3)若∠OAD=30°,以AD为三角形的一边,坐标轴上是否存在点P,使得△PAD为等腰三角形,若存在,直接写出有多少个点P,并写出P点的坐标,选择一种情况证明.
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【题目】为使中华传统文化教育更具有实效性,军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动,围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中,你最喜爱哪一种?(必选且只选一种)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图,请你根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)本次调查共抽取了多少名学生?
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)若军宁中学共有960名学生,请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名?
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=10,在△DCE中,∠DCE=90°,DC=EC=6,点D在线段AC上,点E在线段BC的延长线上.将△DCE绕点C旋转60°得到△D′CE′(点D的对应点为点D′,点E的对应点为点E′),连接AD′、BE′,过点C作CN⊥BE′,垂足为N,直线CN交线段AD′于点M,则MN的长为_____.
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