Question

【题目】综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动．如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝4cm，AD＝3cm．连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD和△BCE．保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）．

操作发现

（1）在△BCE旋转过程中，连接AE，AC，则当α＝0°时，的值是　 　；

（2）如图2，将图1中的△BCE旋转，当点E落在BA延长线上时停止旋转，求出此时的值；

实践探究

（3）如图3，将图2中的△BCE继续旋转，当AC＝AE时停止旋转，直接写出此时α的度数，并求出△AEC的面积；

（4）将图3中的△BCE继续旋转，则在某一时刻AC和AE还能相等吗？如果不能，则说明理由；如果能，请在图4中画出此时的△BCE，连接AC，AE，并直接写出△AEC的面积值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）α的度数为60°，面积为（4﹣6）cm2；（4）（4+6）cm2

【解析】

（1）如图1中，连接AC，理由勾股定理求出AC即可解决问题．

（2）如图2中，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△AFC中，求出AF，FC即可解决问题．

（3）结论：α的度数为60°．如图3中，设EC的中点为G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H．解直角三角形求出AG即可解决问题．

（4）结论：AC和AE还能相等，△BCE位置如图4所示：取CE的中点G，连接AG，作BH⊥AG于H．求出AG即可解决问题．

（1）如图1中，连接AC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝3，

∴AC＝＝＝5，

∵AE＝AD＝3，

∴＝，

故答案为．

（2）如图2中，过点C作CF⊥AB于点F，

∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，

∴EC＝4，BC＝3，∠BAD＝∠BCE＝90°，

∴BD＝BE＝＝＝5，

∴sin∠FBC＝＝．cos∠FBC＝＝，

在Rt△BFC中，BF＝BCcos∠FBC＝3×＝，FC＝BCsin∠FBC＝3×＝，

∴AF＝AB﹣BF＝4﹣＝，

在Rt△AFC中，AC＝＝＝，

AE＝BE﹣AB＝5﹣4＝1，

∴ ．

（3）结论：α的度数为60°．

理由：如图3中，设EC的中点为G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H．

∵AC＝AE，EG＝GC，

∴AG⊥EC，

∵∠GCH＝180°﹣∠ECB＝180°﹣90°＝90°，

∴∠AGC＝∠GCH＝∠AHC＝90°，

∴四边形AGCH是矩形，

∴GC＝AH＝EC＝×4＝2，

在Rt△ABH中，BH＝＝＝2，sin∠ABH=，

∴AG＝CH＝BH﹣BC＝2﹣3，∠ABH=30°，

∴旋转角α=90°-30°=60°，

S△AEC＝ECAG＝×4×（2﹣3）＝（4﹣6）cm2．

（4）结论：AC和AE还能相等，△BCE位置如图4所示：

取CE的中点G，连接AG，作BH⊥AG于H．

同法可得：GH＝BC＝3，AH＝2，

∴AG＝2+3，

∴S△AEC＝ECAG＝×4×（2+3）＝（4+6）cm2．