Question

【题目】如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．

（1）求证：BD=AC；
（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．
①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长；
②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在Rt△AHB中，∠ABC=45°，

∴AH=BH，

在△BHD和△AHC中，

，

∴△BHD≌△AHC，

∴BD=AC，

（2）

解：①如图，

在Rt△AHC中，

∵tanC=3，

∴ =3，

设CH=x，

∴BH=AH=3x，

∵BC=4，

∴3x+x=4，

∴x=1，

∴AH=3，CH=1，

由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，

∴∠EHA=∠FHC， ，

∴△EHA≌△FHC，

∴∠EAH=∠C，

∴tan∠EAH=tanC=3，

过点H作HP⊥AE，

∴HP=3AP，AE=2AP，

在Rt△AHP中，AP2+HP2=AH2，

∴AP2+（3AP）2=9，

∴AP= ，

∴AE= ；

②由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，

∴∠GAH=∠HCG=90°，

∴△AGQ∽△CHQ，

∴ ，

∴ ，

∵∠AQC=∠GQE，

∴△AQC∽△GQH，

∴ =sin30°=

【解析】（1）先判断出AH=BH，再判断出△BHD≌△AHC即可；（2）①先根据tanC=3，求出AH=3，CH=1，然后根据△EHA≌△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，最后用勾股定理即可；②先判断出△AGQ∽△CHQ，得到 ，然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可．此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用．
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．