Question

7．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6．点A、B、C都在坐标轴上．⊙M过点C且与x轴相切．设点M（x，y）．
（1）求点C的坐标；
（2）求y与x之间的关系式；
（3）当点M在AC上时，求⊙M的直径；
（4）当⊙M切x轴于点A时，求⊙M的直径．

Answer 1

分析 （1）首先由勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形，然后利用面积法可求得OC的长；
（2）点M到x轴的距离等于点M到点C的距离，可求得y与x之间的关系式；
（3）设N为切点，连接MN．由相似三角形的性质可求得⊙M的半径；
（4）当⊙M切x轴于点A时，AO=x，先求得OA的长，然后由y=$\frac{5}{48}{x}^{2}+24$可求得y的值，即圆的半径的长度．

解答 解：（1）∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴△ABC为直角三角形．
∴$\frac{1}{2}AB•OC=\frac{1}{2}AC•BC$，即$\frac{1}{2}×10×OC=\frac{1}{2}×6×8$．
∴OC=4.8．
∴点C的坐标为（0，4.8）．
（2）∵⊙M过点C且与x轴相切
∴y=MC．
由两点间的距离公式得；y=$\sqrt{{x}^{2}+（y-4.8）^{2}}$，两边同时平方得：x²+（4.8-y）²=y²，
整理得：y=$\frac{5}{48}{x}^{2}+24$．
∴y与x之间的函数关系式为y=$\frac{5}{48}{x}^{2}+24$．
（3）如图所示，设N为切点，连接MN．

∵⊙Mx轴相切，
∴MN⊥AB．
∴MN∥OC．
∴△AMN∽△ACO．
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{OC}$，即$\frac{8-y}{y}=\frac{8}{4.8}$．
解得：y=3．
∴⊙M的直径=2y=2×3=6．
（4）在Rt△AOC中，由勾股定理可知；AO²=AC²-OC²=8²-4.8²=64×0.64．
当⊙M切x轴于点A时，x²=OA²=64×0.64，由y=$\frac{5}{48}{x}^{2}+24$得：y=$\frac{5}{48}×64×0.64+24$=$\frac{20}{3}$；
∴⊙M的直径=2y=2×$\frac{20}{3}$=$\frac{40}{3}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质、勾股定理以及其逆定理的应用、相似三角形的性质和判断，由切线的性质得到MC=y是解题的关键．