Question

2．已知Rt△ABC的斜边AB=6cm，直角边AC=3cm，以点C为圆心作⊙C．
（1）当半径r为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，直线AB与⊙C相切；
（2）当⊙C与线段AB只有一个公共点时，则半径r的取值范围为r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3＜r≤3$\sqrt{3}$，
（3）当⊙C与线段AB没有公共点时，则半径r的取值范围为0＜r＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或r＞3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）作CD⊥AB于D，如图，根据勾股定理计算出BC=3$\sqrt{3}$，再利用面积法计算出CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，则根据直线与圆相切的判定方法得到r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（2）直线与圆相切时，⊙C与线段AB只有一个公共点，则当r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；当直线与圆相交，且⊙C与线段AB只有一个公共点，则CA＜r≤CB；
（3）当直线与圆相离时，0＜r＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；当直线与圆相交，且⊙C与线段AB没有公共点，则r＞CB．

解答 解：（1）作CD⊥AB于D，如图，
BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{3×3\sqrt{3}}{6}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
当r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，⊙C与直线AB相切；
（2）当r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3＜r≤3$\sqrt{3}$时，⊙C与线段AB只有一个公共点；
（3）当0＜r＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或＞3$\sqrt{3}$时，⊙C与线段AB没有公共点．
故答案为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，r=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或3＜r≤3$\sqrt{3}$；0＜r＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或r＞3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了勾股定理．