Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），点C坐标（0，4），点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形OCDA的面积为S．

（1）求直线AD的函数表达式；

（2）当S＝时，请直接写出t的值；

（3）如果点M是（2）中的直线1上的点，点N在x轴上，并且以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣；（2）t的值为4秒；（3）点N坐标为（1，0）或（3，0）或（7，0）．

【解析】

（1）在Rt△BOC中，利用勾股定理计算BC的长，即菱形的边长为5，可得D和A的坐标，根据待定系数法可解答；

（2）①如图1中，当0≤t≤2时，直线l扫过的图象是四边形CCQP，S＝4t．②如图2中，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA．分别求解即可解决问题；

（3）根据题意分三种情形分别作图，根据平行四边形的性质即可求解．

解：（1）∵点B坐标（﹣3，0），点C坐标（0，4），

∴OB＝3，OC＝4，

在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD＝AB＝BC＝5，

∴A（2，0），D（5，4），

设AD的解析式为：y＝kx+b，

则，解得：，

∴直线AD的函数表达式为：y＝x﹣；

（2）①如图1中，当0≤t≤2时，直线l扫过的图象是四边形OCQP，S＝4t．

4t＝，t＝＞2，不符合题意；

②如图2中，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA．

则OP＝t，

tan∠OBC＝tan∠PAT＝，

∴，PT＝，

S＝S矩形COPQ﹣S△ATP＝4t﹣×（t﹣2）×（t﹣2）＝﹣t2+t﹣，

当S＝时，﹣t2+t﹣＝，

解得：t＝4或6（舍），

综上，当S＝时，t的值为4秒；

（3）存在三种情况：

①如图3中，四边形MNAD是平行四边形，此时M与Q重合，则DM＝AN，

由（2）知：t＝4，则CM＝OP＝4，

∴AN＝DM＝5﹣4＝1，

∴ON＝2﹣1＝1，

∴N（1，0）；

②如图4，四边形ANDM是平行四边形，则DM＝AN，同理得N（3，0）；

③如图5，四边形ADNM是平行四边形，则AD＝MN＝5，

∵PM＝4，

Rt△PMN中，PN＝==3，

∴ON＝4+3＝7，

∴N（7，0）；

综上所述，满足条件的点N坐标为（1，0）或（3，0）或（7，0）．