Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n．

（1）若m＝4，矩形ABCD的边CD上是否存在点P，使得∠APB＝90°？写出点P存在或不存在的可能情况和此时n满足的条件．

（2）矩形ABCD的边上是否存在点P，使得∠APB＝60°？写出点P存在或不存在的可能情况和此时m、n满足的条件．

Answer 1

【答案】（1）①当0＜n＜2时，CD上存在2个点P，使得∠APB＝90°；②当n＝2时，CD上存在1个点P，使得∠APB＝90°；③当n＞2时，CD上不存在满足条件的点P；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据直角的定义与矩形的关系作图即可分析；

（2）根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可求解.

（1）①如图，当0＜n＜2时，CD上存在2个点P，使得∠APB＝90°；

②如图当n＝2时，CD上存在1个点P，使得∠APB＝90°；

③如图当n＞2时，CD上不存在满足条件的点P．

（2）①如图，当=tan60°=时，n＝m时，矩形ABCD的边上存在2个点P，使得∠APB＝60°；

②故当n＜m时，矩形ABCD的边上不存在点P，使得∠APB＝60°；

③如图，当△ABP为等边三角形时，当 =tan60°=，即n＝m时，矩形ABCD的边上存在3个点P，使得∠APB＝60°；

④如图，故当m＜n＜m时，矩形ABCD的边上存在4个点P，使得∠APB＝60°；

⑤如图，当n＞m时，矩形ABCD的边上存在2个点P，使得∠APB＝60°．