Question

【题目】已知等腰直角中，，点是边上一点，以为边作等腰直角，其中，边与交于点，点是上一点．

（1）如图1，若，连接．

①若，求的长度；

②求证：；

（2）如图2，若交的延长线于点，连接，请猜想线段之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）①；②见解析；（2）．证明见解析．

【解析】

（1）①过作于点，先由等腰直角中求得BD的长，设，分别在Rt△BFM和Rt△DFM中，利用含x的代数式表示出BM和DM的长，再根据求解即可；

②在上截取，连接，先证，得，再证，得，进而可证得；

（2）在上截取，连接，先证，得，再证，得，进而可证得．

（1）①如图，过作于点

为等腰直角三角形，，

在中，sin∠E=

∴

设，

在中，tan∠ABM=，sin∠ABM=，

∵∠ABM=30°，

∴tan30°=，sin30°=，

∴

同理可得，在中，，

，

，

解得，

，

②如图，在上截取，连接

在与中

又

在与中

（3）如图，在上截取，连接

在与中

在与中