Question

 如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=3 cm，点P从A点出发，以5cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以4cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动。当P运动到C点时，P、Q都停止运动。设点P运动的时间为ts。

（1）当P异于A．C时，证明：以P为圆心、PQ长为半径的圆总是与边AB相切；

（2）在整个运动过程中，t为怎样的值时，以P为圆心、PQ长为半径的圆与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD中，AB=4cm，AD=3 cm，

∴AC=5 cm。

∴。

如图1，过点P作PH⊥AB于点H，

∴。

∵点P的速度为5cm/s，运动的时间为ts，

∴AP=5tcm。

∴AH=4tcm。

又∵点Q的速度为4cm/s，运动的时间为ts，

∴AQ=4tcm。

∴点Q与点H重合。

∴PQ⊥AB。

∴以P为圆心、PQ长为半径的圆总是与边AB相切。

如图3，⊙P过点C，此时PQ=PC，

∵AP=5tcm，PQ=3tcm，AC=5，

∴5t+3t=5，解得。

∴当时，⊙P与边BC有2个公共点。

P与边BC有2个公共点。

【考点】双动点问题，矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行的判定，切线的判定和性质，分类思想的应用。