Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．

（1）求点A的坐标和∠AOB的度数；

（2）若将抛物线向右平移4个单位，再向上平移2个单位，再向上翻转，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线上，请说明理由；

Answer 1

解：（1）∵由得，，

∴抛物线的顶点A的坐标为（﹣2， 2）。

如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∴∠ADO=90°。

∵点A的坐标为（﹣2， 2），点D的坐标为（﹣2，0），

∴OD=AD=2。∴∠AOB=45°。

（3）点C′不在抛物线上。理由如下：

如图，过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，

∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，∴∠COH=∠C′OG。

∵CE∥OH，∴∠OCE=∠C′OG。

又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，∴△CEO≌△C′GO。∴OG=4，C′G=2。

∴点C′的坐标为（﹣4，﹣2）。

把x=﹣4代入抛物线得y=0。

∴点C′不在抛物线上。

【考点】二次函数综合题，平移、翻折和单动点问题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理。