Question

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C。若直线l过点E（﹣4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Answer 1

解：在中，令y=0，即，解得x₁=﹣2，x₂=4。

            ∵点A在点B的右侧，

∴A、B点的坐标为A（4，0）、B（﹣2，0）。

如图，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条，连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。

则ON=。

∴M点坐标为（，）。

直线l过M（，），E（﹣4，0），

设直线l的解析式为y=k₁x+b₁，则有，解得。

∴直线l的解析式为y=x+3。

同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。

综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，分类思想的应用。