Question

【题目】如图1，直线与轴交于点，与轴交于点抛物线经过点、.

（1）求点的坐标和抛物线的解析式.

（2）为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、.

①点在线段上运动，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

②点在轴上自由运动，若三个点、、中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称、、三点为“共谐点”.请直接写出使得、、三点成为“共谐点”的的值.

Answer 1

【答案】（1）；抛物线的解析式为；

（2）①点的坐标为或；②或或.

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）②先根据题意确定N点坐标，再根据（1）所得直线AB的解析式，确定OA，OB的长度，若使和相似，则必须或，然后分类讨论即可；

②根据题意直接写成m的取值即可.

解：（1）∵直线与轴交于点，∴，解得，∴.

∵抛物线经过点，∴，

∴，∴抛物线的解析式为.

（2）∵轴，，，∴.

①由（1）知直线的解析式为，，.

在和中，∵，，∴若使和相似，则必须或，分两种情况讨论如下：

（Ⅰ）当时，过点作轴于点，则，，.

∵，∴，∴，∴.

∴，即，解得（舍去）或，

∴.

（Ⅱ）当时，，∴点的纵坐标为2，∴，解得（舍去）或，∴.

综上，点的坐标为或.

②或或.