Question

18．如图，点A（m，3）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}（x＞0）$的图象上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于点D，连接OB与AD相交于点C，且AC=2CD．
（1）求m的值；
（2）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的表达式．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得．
（2）过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，得出S_矩形AFOD=3，S_矩形OEBF=k，根据平行线分线段成比例定理证得AB=2OD，即OE=3OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．

解答 解：（1）∵点A（m，3）在反比例函数y=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象上，
∴3=$\frac{3}{m}$，解得m=1，

（2）过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，
∵AB∥x轴，
∴AF⊥y轴，
∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴AF=OD，BF=OE，
∴AB=DE，
∵点A在双曲线y=y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上，
∴S_矩形AFOD=3，
同理S_矩形OEBF=k，
∵AB∥OD，
∴$\frac{OD}{AB}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2OD，
∴DE=2OD，
∴S_矩形OEBF=3S_矩形AFOD=9，
∴k=9，
∴反比例函数y=$\frac{k}{x}$的表达式为y=$\frac{9}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．