Question

5．已知关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由
（4）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，求满足条件的m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0有实数根，即△≥0，求出k的取值范围即可；
（2）把x=1代入方程，得到k的一元二次方程，求出k的值即可；
（3）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2k-6，x₁•x₂=k²-4k-1，结合题意列出k的方程，求出k的值；
（4）设方程的两个根分别为x，$\frac{m}{x}$，根据题意得到m=k²-4k+4-4-1=（k-2）²-5，根据二次函数的性质求出m的最小值．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0有实数根，
∴△≥0，
∴△=4（k-3）²-4（+k²-4k-1）≥0，即-2k+10≥0，
∴k≤5；
（2）∵方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0有一根为1，
∴把x=1代入方程得：1-2（k-3）+k²-4k-1=0，
整理得：k²-6k+6=0，
解得k₁=3+$\sqrt{3}$，k₂=3-$\sqrt{3}$；
（3）∵存在实数k，使方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个实数根的倒数和等0，则令方程的两个根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2k-6，x₁•x₂=k²-4k-1，
又∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=0，即$\frac{{x}_{1+{x}_{2}}}{{x}_{1•{x}_{2}}}$=0，
∴$\frac{2k-6}{{k}^{2}-4k-1}$=0，即2k-6=0，
∴k=3；
（4）∵以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴设方程的两个根分别为x，$\frac{m}{x}$，
∴x•$\frac{m}{x}$=k²-4k-1，即m=k²-4k-1，
∴m=k²-4k+4-4-1=（k-2）²-5，即m=（k-2）²-5，
∴当k=2时m有最小值为-5，
∴m的最小值为-5．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．