Question

【题目】如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．

（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3 ， 如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中，

在△AOB和△AOC中，

，

∴△AOB≌△AOC，

∴∠C=∠B，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，

∴△OAD∽△ABD

（2）

解：如图2中，

∵BD⊥AC，OA=OC，

∴AD=DC，

∴BA=BC=AC，

∴△ABC是等边三角形，

在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，

∴OD= OA= ，

∴AD= = ，

∴BC=AC=2AD=

（3）

解：如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．

∵△DAO∽△DBA，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴AD= ，AB= ，

∵S2是S1和S3的比例中项，

∴S22=S1S3，

∵S2= ADOH，S1=S△OAC= ACOH，S3= CDOH，

∴（ ADOH）2= ACOH CDOH，

∴AD2=ACCD，

∵AC=AB．CD=AC﹣AD= ﹣ ，

∴（ ）2= （ ﹣ ），

整理得x2+x﹣1=0，

解得x= 或 ，

经检验：x= 是分式方程的根，且符合题意，

∴OD=

【解析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，可以证明△ABC是等边三角形即可解决问题；（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2=ACCD，列出方程即可解决问题；