【题目】2016年里约奥运会,中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌,优秀成绩的取得离不开艰辛的训练.某跳水运动员在进行跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线,已知跳板AB长为2米,跳板距水面CD的高BC为3米,训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米,现以CD为横轴,CB为纵轴建立直角坐标系.
(1)当k=4时,求这条抛物线的解析式;
(2)当k=4时,求运动员落水点与点C的距离;
(3)图中CE= 米,CF=
米,若跳水运动员在区域EF内(含点E,F)入水时才能达到训练要求,求k的取值范围.
【答案】
(1)解:如图所示:
根据题意,可得抛物线顶点坐标M(3,4),A(2,3)
设抛物线解析为:y=a(x﹣3)2+4,
则3=a(2﹣3)2+4,
解得:a=﹣1,
故抛物线解析式为:y=﹣(x﹣3)2+4
(2)解:由题意可得:当y=0,则0=﹣(x﹣3)2+4,
解得:x1=1,x2=5,
故抛物线与x轴交点为:(5,0),
当k=4时,求运动员落水点与点C的距离为5米
(3)解:根据题意,抛物线解析式为:y=a(x﹣3)2+k,
将点A(2,3)代入可得:a+k=3,即a=3﹣k
若跳水运动员在区域EF内(含点E,F)入水,
则当x= 时,y=
a+k≥0,即
(3﹣k)+k≥0,
解得:k≤ ,
当x= 时,y=
a+k≤0,即
(3﹣k)+k≤0,
解得:k≥ ,
故 ≤k≤
【解析】(1)根据抛物线顶点坐标M(3,4),可设抛物线解析为:y=a(x﹣3)2+4,将点A(2,3)代入可得;(2)在(1)中函数解析式中令y=0,求出x即可;(3)若跳水运动员在区域EF内(含点E,F)入水达到训练要求,则在函数y=a(x﹣3)2+k中当x= 米,y>0,当x=
米时y<0,解不等式即可得.
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【题目】已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F,若 =
,如图1,.
(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(2)设AE与DF相交于点M,如图2,AF=2FC=4,求AM的长.
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【题目】小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现,对于平面直角坐标系内任意两点P1(x1 , y1),P2(x2 , y2),可通过构造直角三角形利用图1得到结论:P1P2= 他还利用图2证明了线段P1P2的中点P(x,y)P的坐标公式:x=
,y=
.
(1)请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程;
(2)①已知点M(2,﹣1),N(﹣3,5),则线段MN长度为;
②直接写出以点A(2,2),B(﹣2,0),C(3,﹣1),D为顶点的平行四边形顶点D的坐标:;
(3)如图3,点P(2,n)在函数y= x(x≥0)的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上,请在OL、x轴上分别找出点E、F,使△PEF的周长最小,简要叙述作图方法,并求出周长的最小值.
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【题目】如图,已知⊙O的半径长为1,AB、AC是⊙O的两条弦,且AB=AC,BO的延长线交AC于点D,联结OA、OC.
(1)求证:△OAD∽△ABD;
(2)当△OCD是直角三角形时,求B、C两点的距离;
(3)记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3 , 如果S2是S1和S3的比例中项,求OD的长.
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【题目】2017威海)央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣,某校为满足学生的阅读需求,欲购进一批学生喜欢的图书,学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类,根据调查结果绘制了统计图(未完成),请根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次共调查了名学生;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度;
(4)若该校共有学生2500人,估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连接BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论: ①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PHPC
其中正确的是( )
A.①②③④
B.②③
C.①②④
D.①③④
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【题目】形如半圆型的量角器直径为4cm,放在如图所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O重合,零刻度线在x轴上),连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q,线段PQ交y轴于点A,则点A的坐标为( )
A.(﹣1, )
B.(0, )
C.( ,0)
D.(1, )
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