Question

【题目】如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为6；③∠AOB＝150°；④S△BOC＝12+6； ⑤S四边形AOBO′＝24+12．其中正确的结论是_____．（填序号）

Answer 1

【答案】①③

【解析】

证明△BO′A≌△BOC即可说明△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①正确；根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，则点O与O'的距离为8，②错误；根据勾股定理的逆定理得到△AOO′是直角三角形，求得Rt△AOO′面积为×6×8＝24，又等边△BOO′面积为×8×4＝16，得到四边形AOBO'的面积为24+16，⑤错误；求得∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正确；过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，根据三角形的面积公式即可得到S△BOC＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16，故④错误．

在△BO′A和△BOC中，

，

∴△BO′A≌△BOC（SAS）．

∴O′A＝OC，

∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①正确；

如图1，连接OO′，根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，

∴点O与O'的距离为8，②错误；

在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．

∴Rt△AOO′面积为×6×8＝24，

又等边△BOO′面积为×8×4＝16，

∴四边形AOBO'的面积为24+16，⑤错误；

∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正确；

过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，

∵∠AOB＝150°，

∴∠BOE＝30°，

∵OB＝8，

∴BE＝4，

∴S△AOB＝×4×6＝12，

∴S△BOC＝S四边形AOBO′﹣S△AOB＝24+16﹣12＝12+16，故④错误，

故答案为：①③．