Question

【题目】如图：抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点P（m，n）是线段AB上的动点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？

（3）在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）l＝﹣m2+m+2，当m＝时，PQ最长，最大值为；（3）符合条件的点R有，它的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣5）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣1）．

【解析】

（1）先由一次函数解析式求出A，B两点的坐标，再根据待定系数法，可得抛物线的解析式；

（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）使P，Q，B，R为顶点的四边形是平行四边形，可以分两种情况：一是PQ为一边时，根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，根据点的坐标表示方法，可得答案，二是PQ为一条对角线时，根据平行四边形的性质，PQ与BR互相平分，此时R与C 重合．

（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x﹣1交于点A，B，

∴当y＝0时，﹣x﹣1＝0，

解得x＝﹣1，

∴A（﹣1，0），

∵点B的横坐标为2，

∴﹣x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，

∴B（2，﹣3），

将A（﹣1，0），B（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：

，

解得，，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵点P在直线AB上，Q抛物线上，P（m，n），

∴n＝﹣m﹣1，Q（m，m2+2m﹣3）

∴PQ的长l＝（﹣m﹣1）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2，

∴当m＝＝时，PQ的长l最大＝﹣++2＝．

答：线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2+m+2，当m＝时，PQ最长，最大值为；

（3）由（2）可知，0＜PQ≤．

①当PQ为边时，BR∥PQ且BR＝PQ．

∵R是整点，B（2，﹣3），

∴PQ是正整数，

∴PQ＝1，或PQ＝2．

当PQ＝1时，

﹣m2+m+2=1，

∴m=,

此时P，Q不是整点，不合题意舍去，

当PQ＝2时，

﹣m2+m+2=2，

∴m1=0，m2=1，

∵BR＝2，此时点R的横坐标为2，

∴纵坐标为﹣3+2＝﹣1或﹣3﹣2＝﹣5，

即R（2，﹣1）或R（2，﹣5）．

②当PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与BR互相平分，

当PQ＝1时，即：﹣x﹣1﹣（x2﹣2x﹣3）＝1，此时x不是整数，

当PQ＝2时，即﹣x﹣1﹣（x2﹣2x﹣3）＝2，此时x1＝﹣1，x2＝0；

∴x1＝﹣1，R与点C重合，即R（0，﹣3），

x2＝0；此时R（﹣2，﹣1）．

综上所述，符合条件的点R有，它的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣5）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣1）．