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【题目】已知抛物线Cy1ax2ah(2xh)2,直线ly2k(xh)2

(1)求证:直线l恒过抛物线C的顶点;

(2)a=-1mx2时,y1x4恒成立,求m的最小值;

(3)0a3k0时,若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点,求k的取值范围.

【答案】(1)证明见解析;(2)1;(3)k6

【解析】

(1)由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为(h-2),然后证明点(h,-2)符合直线y2k(xh)2的解析式即可;

(2),依据拋物线的解析式可得到拋物线的顶点在直线y=-2上,由mx2时,y1x4恒成立可得到拋物线的顶点坐标为(2-2),然后找出抛物线y1ax2ah(2xh)2位于直线上方时自变量x的取值范围,从而可确定出m的最小值;

(3)(1)可知抛物线C与直线l都过点A(h,-2).0<a3时,k>0,在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点,即当x=h+2时,恒成立,然后由可得到关于k的不等式,从而可求得k:的取值范围.

解:(1)y1ax2ah(2xh)2=

抛物线C的顶点坐标为(h,-2),当x=h,y2k(hh)2=-2,所以直线l恒过抛物线C的顶点(h,-2;

(2)a=-1,抛物线C解析式为y1=,令如图所示:

抛物线C的顶点在直线y=-2上移动,1mx2,y1x4恒成立,则可知抛物线C的顶点为(2,-2),设抛物线C与直线除顶点外的另一交点为M,此时点M的横坐标即为m的最小值,,解得,所以m的最小值为1.

(3)如图2所示:(1)可知:抛物线C与直线l都过点A(h,-2).如图所示:

0<a3,k>0,在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点,即当x=h+2,恒成立.

所以,整理得:得:k>2a.又因为0<a3,所以0<2a<6,所以k>6.

分析:

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