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【题目】如图,在RtABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BCAB相交于点DE,连接AD,已知∠CAD=∠B.

1)求证:AD是⊙O的切线;

2)若∠B30°AC,求劣弧BD与弦BD所围阴影图形的面积;

3)若AC4BD6,求AE的长.

【答案】1)见解析;(2;(3

【解析】

1)连接OD,由OD=OB,利用等边对等角得到一对角相等,再由已知角相等,等量代换得到∠1=3,求出∠490°,即可证AD是⊙O的切线;

2)连接OD,作OFBDF,由直角三角形的性质得出CDAC1BCAC3 AC=3,得出BD=BC-CD=2,由直角三角形的性质得出DFBFBD1OFBF,得出OB2OF,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果;(3)证明△ACD∽△BCA,得出,求出CD=2,由勾股定理得出AD,求出AB=4,在RtAOD中,AD2 +OD2 =OA2,设⊙O的半径为x,则OA=4-x,解关于x的方程,BE=2x,求出BE后,根据AE=AB-BE,直接计算AE的长即可;

1)证明:连接OD,如图1所示:

OBOD

∴∠3=∠B

∵∠B=∠1

∴∠1=∠3

RtACD中,∠1+290°

∴∠4180°﹣(∠2+3)=90°

ODAD

AD为⊙O的切线;

2)解:连接OD,作OFBDF,如图2所示:

OBOD,∠B30°,∴∠ODB=∠B30°

∴∠DOB120°

∵∠C90°,∠CAD=∠B30°

CDAC1BCAC3

BDBCCD2

OFBD

DFBFBD1OFBF

OB2OF

∴劣弧BD与弦BD所围阴影部分的面积=扇形ODB的面积﹣ODB的面积=

3)解:∵∠CAD=∠B,∠C=∠C

∴△ACD∽△BCA

AC2CD×BCCDCD+BD),

42CDCD+6),

解得:CD2,或CD=﹣8(舍去),

CD2

AD

AB4

ODAD

∴在RtAOD中,AD2 +OD2 =OA2

∴设⊙O的半径为x,则OA=4-x

(2) 2+x2=(4-x) 2

AE=AB-BE=4-3=

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A. B. C. D.

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