【题目】如图,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC、AB相交于点D、E,连接AD,已知∠CAD=∠B.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若∠B=30°,AC=,求劣弧BD与弦BD所围阴影图形的面积;
(3)若AC=4,BD=6,求AE的长.
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)连接OD,由OD=OB,利用等边对等角得到一对角相等,再由已知角相等,等量代换得到∠1=∠3,求出∠4为90°,即可证AD是⊙O的切线;
(2)连接OD,作OF⊥BD于F,由直角三角形的性质得出CD=AC=1,BC=AC=3, AC=3,得出BD=BC-CD=2,由直角三角形的性质得出DF=BF=BD=1,OF=BF=,得出OB=2OF=,由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果;(3)证明△ACD∽△BCA,得出,求出CD=2,由勾股定理得出AD=,求出AB=4,在Rt△AOD中,AD2 +OD2 =OA2,设⊙O的半径为x,则OA=4-x,解关于x的方程,BE=2x,求出BE后,根据AE=AB-BE,直接计算AE的长即可;
(1)证明:连接OD,如图1所示:
∵OB=OD,
∴∠3=∠B,
∵∠B=∠1,
∴∠1=∠3,
在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,
∴∠4=180°﹣(∠2+∠3)=90°,
∴OD⊥AD,
则AD为⊙O的切线;
(2)解:连接OD,作OF⊥BD于F,如图2所示:
∵OB=OD,∠B=30°,∴∠ODB=∠B=30°,
∴∠DOB=120°,
∵∠C=90°,∠CAD=∠B=30°,
∴CD=AC=1,BC=AC=3,
∴BD=BC﹣CD=2,
∵OF⊥BD,
∴DF=BF=BD=1,OF=BF=,
∴OB=2OF=,
∴劣弧BD与弦BD所围阴影部分的面积=扇形ODB的面积﹣△ODB的面积=
(3)解:∵∠CAD=∠B,∠C=∠C,
∴△ACD∽△BCA,
∴,
∴AC2=CD×BC=CD(CD+BD),
即42=CD(CD+6),
解得:CD=2,或CD=﹣8(舍去),
∴CD=2,
∴AD=,
∵,
∴,
∴AB=4,
∵OD⊥AD,
∴在Rt△AOD中,AD2 +OD2 =OA2,
∴设⊙O的半径为x,则OA=4-x,
∴(2) 2+x2=(4-x) 2,
∴,
∴AE=AB-BE=4-3=;
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【题目】如图,已知A1、A2、……、An、An+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=……=AnAn+1=1,分别过点A1、A2、……、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、……、Bn、Bn+1,连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、……、AnBn+1、BnAn+1,依次相交于点P1、P2、P3、……、Pn,△A1B1P1、△A2B2P2、……、△AnBnPn的面积依次为S1、S2、……、Sn,则Sn为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知抛物线C:y1=ax2-ah(2x-h)-2,直线l:y2=k(x-h)-2.
(1)求证:直线l恒过抛物线C的顶点;
(2)当a=-1,m≤x≤2时,y1≥x-4恒成立,求m的最小值;
(3)当0<a≤3,k>0时,若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点,求k的取值范围.
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【题目】如图,已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形,且△AOB和△A1OB1的周长之比为1:2,点B的坐标为(-1,2),则点B1的坐标为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,已知抛物线经过点和点,与轴交于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点是直线下方的抛物线上一动点(不点,重合),过点作轴的平行线交直线于点,设点的横坐标为.
①用含的代数式表示线段的长;
②连接,,求的面积最大时点的坐标;
(3)设抛物线的对称轴与交于点,点是抛物线的对称轴上一点,为轴上一点,是否存在这样的点和点,使得以点、、、为顶点的四边形是菱形?如果存在,请直接写出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若方程两实根满足|x1|+|x2|=x1·x2,求k的值.
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【题目】(探究)用“>”、“<”、“≤”、“≥”或“=”填空,并探究规律:
(1)4+5 2;
(2)3+ 2;
(3)1+ 2;
(4)a+1 2(a>0).
(发现)用一句话概括你发现的规律: ;
(表达)用符号语言写出你发现的规律并加以证明;
(应用)若a>0,求a+的最小值.
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【题目】在数学课上,老师要求在一个已知的中,利用尺规作出一个菱形.
(1)小明的作法如下:如图1,连接,作的垂直平分线分别交,于点,,连接,.请你判断小明的作法是否正确;若正确,说明理由;若不正确,请你作出符合条件的菱形;
(2)小亮的作法:如图2,分别作,的平分线,,分别交,于点,,连接,则四边形是菱形.请你直接判断小亮的作法是否正确.
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