Question

【题目】如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为.

①用含的代数式表示线段的长；

②连接，，求的面积最大时点的坐标；

（3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m；②△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）；（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．

【解析】

（1）根据已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0）代入即可求解；
（2）①先确定直线BC解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的带上书表示出P和D的坐标进而求解；
②用含m的代数式表示出△PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解；
（3）根据（1）中所得二次函数图象和对称轴先得点E的坐标即可写出点三个位置的点M的坐标．

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；

（2）①设P（m，m2﹣4m+3），

将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3．

∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，

∴D（m，﹣m+3），

∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．

答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m．

②S△PBC＝S△CPD+S△BPD

＝OBPD＝﹣m2+m

＝﹣（m﹣）2+．

∴当m＝时，S有最大值．

当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．

∴P（，﹣）．

答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．

（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．
根据题意，点E（2，1），
∴EF=CF=2，
∴EC=2，
根据菱形的四条边相等，
∴ME=EC=2，∴M（2，1-2）或（2，1+2）
当EM=EF=2时，M（2，3）

∴点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）．