【题目】抛物线的顶点为A,抛物线的顶点为B,其中m≠﹣2,抛物线与相交于点P.
(1)当m=﹣3时,在所给的平面直角坐标系中画出C1,C2的图象;
(2)已知点C(﹣2,1),求证:点A,B,C三点共线;
(3)设点P的纵坐标为q,求q的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)先将代入求出两条抛物线的解析式,再列表描点、顺次连接即可得出图象;
(2)先根据抛物线的解析式求出点A、B的坐标,再求出A和B所在直线的解析式,最后将点C的坐标代入直线解析式,判断其是否在直线上即可;
(3)联立两条抛物线的解析式,求出点P的坐标,从而可得q是含m的代数式,再根据二次函数的性质求解即可.
(1)当时
抛物线,列表如下:
x | ﹣5 | ﹣4 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | ||
y | ﹣4 | ﹣1 | 0 | ﹣1 | ﹣4 |
抛物线,列表如下:
x | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | ||
y | ﹣2 | 1 | 2 | 1 | ﹣2 |
在平面直角坐标系中描点、顺次连接得出的图象如图所示:
(2)∵抛物线化成顶点式为
∴顶点A的坐标为
由抛物线得点B的坐标为
设直线AB解析式为
将代入得:
得:,即
把代入①得:
∴直线AB解析式为
当时,
则在直线AB上,即点A,B,C三点共线;
(3)联立两条抛物线的解析式得:
得:
整理得:
提取公因式得:
把代入③得:
则点P的坐标为
因此,
由二次函数的性质可知:当时,q随m的增大而增大;当时,q随m的增大而减小
则当时,q取得最大值,所以
又由于,所以q不能取
故q的取值范围为.
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【题目】如图,已知⊙O的半径是5,AB是⊙O的弦,直径CD⊥AB于点E.
(1)点F是⊙O上任意一点,请仅用无刻度的直尺画出∠AFB的角平分线;
(2)若AC=8,试求AB的长.
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【题目】如图,已知抛物线经过点和点,与轴交于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点是直线下方的抛物线上一动点(不点,重合),过点作轴的平行线交直线于点,设点的横坐标为.
①用含的代数式表示线段的长;
②连接,,求的面积最大时点的坐标;
(3)设抛物线的对称轴与交于点,点是抛物线的对称轴上一点,为轴上一点,是否存在这样的点和点,使得以点、、、为顶点的四边形是菱形?如果存在,请直接写出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若方程两实根满足|x1|+|x2|=x1·x2,求k的值.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,C为的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC,BC.
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=2,AC=,求AB的长.
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【题目】(探究)用“>”、“<”、“≤”、“≥”或“=”填空,并探究规律:
(1)4+5 2;
(2)3+ 2;
(3)1+ 2;
(4)a+1 2(a>0).
(发现)用一句话概括你发现的规律: ;
(表达)用符号语言写出你发现的规律并加以证明;
(应用)若a>0,求a+的最小值.
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