Question

【题目】抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，其中m≠﹣2，抛物线与相交于点P．

（1）当m＝﹣3时，在所给的平面直角坐标系中画出C1，C2的图象；

（2）已知点C（﹣2，1），求证：点A，B，C三点共线；

（3）设点P的纵坐标为q，求q的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）先将代入求出两条抛物线的解析式，再列表描点、顺次连接即可得出图象；

（2）先根据抛物线的解析式求出点A、B的坐标，再求出A和B所在直线的解析式，最后将点C的坐标代入直线解析式，判断其是否在直线上即可；

（3）联立两条抛物线的解析式，求出点P的坐标，从而可得q是含m的代数式，再根据二次函数的性质求解即可.

（1）当时

抛物线，列表如下：

x		﹣5	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1
y		﹣4	﹣1	0	﹣1	﹣4

抛物线，列表如下：

x		﹣3	﹣2	﹣1	0	1
y		﹣2	1	2	1	﹣2

在平面直角坐标系中描点、顺次连接得出的图象如图所示：

（2）∵抛物线化成顶点式为

∴顶点A的坐标为

由抛物线得点B的坐标为

设直线AB解析式为

将代入得：

得：，即

把代入①得：

∴直线AB解析式为

当时，

则在直线AB上，即点A，B，C三点共线；

（3）联立两条抛物线的解析式得：

得：

整理得：

提取公因式得：

把代入③得：

则点P的坐标为

因此，

由二次函数的性质可知：当时，q随m的增大而增大；当时，q随m的增大而减小

则当时，q取得最大值，所以

又由于，所以q不能取

故q的取值范围为.