Question

【题目】如图．在平行四边形中，分别为的中点，连结．

求证：

（1）；

（2）若，证明：四边形是菱形。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠A=∠C，DC=AB，再结合条件可得AE=CF，再利用SAS证明△ADE≌△CBF即可；

（2）首先利用平行四边形的性质证明DF∥EB，DF=EB，可得四边形DEBF是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得DE=AB，进而可得DE=EB，从而可证明四边形是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，∠A=∠C，DC=AB，

∵E，F分别为边AB、CD的中点，

∴DF=CF=DC，AE=BE=AB，

∴AE=CF，

在△ADE和△CBF中

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）∵边形ABCD是平行四边形，

∴DC=AB，CD∥AB，

∴DF∥EB，

∵E，F分别为边AB、CD的中点，

∴DF=CF=DC，AE=BE=AB，

∴DF=EB，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∵∠ADB=90°，

∴DE=AB，

∴DE=EB，

∴四边形DEBF是菱形．