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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(30)B(10)两点(如图1),顶点为M.

(1)ab的值;

(2)设抛物线与y轴的交点为Q(如图1),直线y=2x+9与直线OM交于点D. 现将抛物线平移,保持顶点在直线OD.当抛物线的顶点平移到D点时,Q点移至N点,求抛物线上的两点MQ间所夹的曲线MQ扫过的区域的面积;

(3)设直线y=2x+9y轴交于点C,与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移,保持顶点在直线OD.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时,试探求其顶点的横坐标h的取值范围.

【答案】1a=1b=4;(2MQ扫过的面积为;(3

【解析】

1)将AB两点的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值.

2)连接MQDN后,由图可以发现曲线MQ扫过的面积正好是MQND的面积;连接QD,则MQND的面积是两倍的△MQD的面积,所以这道题实际求的是△MQD的面积;由(1)的抛物线解析式,不难求出顶点M的坐标,联立直线OM和直线CD的解析式可以求出点D的坐标;以OQ为底,MD两点的横坐标差的绝对值为高即可得△MQD的面积,则此题可求.

3)在平移过程中,抛物线的开口方向和大小是不变的,即二次项系数不变;抛物线的顶点始终在直线OM上,根据直线OM的解析式(y=x)可表达出抛物线顶点的坐标(hh),可据此先设出平移后的抛物线解析式;若求平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时顶点横坐标的取值范围,那么就要考虑到两个关键位置:

①抛物线对称轴右侧部分经过C点时,抛物线顶点横坐标h的值;

②抛物线对称轴左侧部分与直线CD恰好有且只有一个交点时,h的值;

解:(1)将A-30),B-10)代入抛物线y=ax2+bx+3中,得:

解得:a=1b=4

2)连接MQQDDN

由图形平移的性质知:QNMD,即四边形MQND是平行四边形;

由(1)知,抛物线的解析式:y=x2+4x+3=x+22-1,则点M-2-1),

x=0时,y=3

Q03);

设直线OM的解析式为y=kx

-2k=-1

k=

∴直线OMy=x,联立直线y=-2x+9,得:

解得

D);

曲线QM扫过的区域的面积:S=SMQND=2SMQD

3)由于抛物线的顶点始终在y=x上,可设其坐标为(hh),设平移后的抛物线解析式为y=x-h2+h

当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C09)时,有:

h2+h=9,解得:h=(依题意,舍去正值)

当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时,依题意:

消去y,得:x2-2h-2x+h2+h-9=0

则:△=2h-22-4h2+h-9=-10h+40=0,解得:h=4

结合图形,当平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时,hh4

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