【题目】已知菱形OABC的边长为5,且tan∠AOC=,点E是线段BC的中点,过点A、E的抛物线y=ax2+bx+c与边AB交于点D.
(1)求点A和点E的坐标;
(2)连结DE,将△BDE沿着DE翻折.
①当点B的对应点B'恰好落在线段AC上时,求点D的坐标;
②连接OB、BB',请直接写出此时该抛物线二次项系数a= .
【答案】(1)A(3,4),E(,2);
(2)①D()或D().②.
【解析】
(1)过点A作x轴的垂线,垂足为F,由条件可得OF=3,AF=4,则A点坐标可求出,求出B,C的坐标,则E点坐标可求出;
(2)①求出直线AC的解析式为y=﹣2x+10,设D(m,4),由BD=B'D可得m的方程,则D点坐标可求出;
②抛物线y=ax2+bx+c过点A,E,D三点,由待定系数法可求出a的值.
解:(1)如图,过点A作x轴的垂线,垂足为F,
∵OA=5,且tan∠AOC=,
∴OF=3,AF=4,即A(3,4),
又∵四边形OABC为菱形,
∴OA=OC=BC=AB=5,
∴B(8,4),C(5,0),
∴E(,2),
(2)①设AC:y=kx+m,把A(3,4)和C(5,0)代入得
k=﹣2,m=10,
∴y=﹣2x+10,
设B'(x,﹣2x+10),由BE=B'E可得(6.5﹣x)2+(2x﹣8)2=2.52,
解得x=4或x=5,
∴B'(4,2)或(5,0),
设D(m,4),由BD=B'D可得(m﹣4)2+4=(8﹣m)2或(m﹣5)2+16=(8﹣m)2,
解得m1=,m2=
∴D()或D().
②若抛物线y=ax2+bx+c过点A(3,4),E(,2),D(,4),
∴解得a=-,
若抛物线y=ax2+bx+c过点A(3,4),E(,2),D(4),
∴,解得a=.
故答案为:.
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【题目】问题发现:如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M,
(1)填空:的值为 ; ∠AMB的度数为 ,
(2)类比探究,如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线于点M,请判断 的值及∠AMB的度数,并说明理由:
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(3,0),B(1,0)两点(如图1),顶点为M.
(1)a、b的值;
(2)设抛物线与y轴的交点为Q(如图1),直线y=2x+9与直线OM交于点D. 现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时,Q点移至N点,求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQ扫过的区域的面积;
(3)设直线y=2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时,试探求其顶点的横坐标h的取值范围.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(﹣1,0)、B(3,0)两点,且交y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段BC上的点(不与B、C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长;
(3)在(2)的条件下,连接NB,NC,是否存在点M,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,已知⊙O的半径是5,AB是⊙O的弦,直径CD⊥AB于点E.
(1)点F是⊙O上任意一点,请仅用无刻度的直尺画出∠AFB的角平分线;
(2)若AC=8,试求AB的长.
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【题目】对于一个函数,当自变量x取n时,函数值y等于4-n,我们称n为这个函数的“二合点”,如果二次函数y=mx2+x+1有两个相异的二合点x1,x2,且x1<x2<1,则m的取值范围是______.
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【题目】已知:和均为等腰直角三角形,,,,连接.
(1)如图1所示,线段与的数量关系是_____,位置关系是_____;
(2)在图1中,若点M、P、N分别为的中点,连接,请判断的形状,并说明理由;
(3)如图2所示,若M、N、P分别为上的点,且满足,,连接,则线段长度是多少?
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,C为的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC,BC.
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=2,AC=,求AB的长.
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