Question

9．已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），
（1）求△ABO的面积．
（2）能否在x轴上找到点E使得△OBE的面积=△ABO的面积的一半？若能，请求出E点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建矩形OCDF，则三角形ABC的面积=矩形OCDF的面积-三个三角形的面积的和；
（2）设E（x，0），根据△OBE的面积=△ABO的面积的一半列式求出OE的长，写出点E的坐标．

解答 解：（1）如图1，过A，B分别作y轴，x轴的垂线，垂足为C，F，两线交于点D，
则C（0，3），D（3，3），F（3，0）
又因为O（0，0），A（1，3），B（3，1），
所以OC=3，AC=1，OF=3，BF=1，
AD=DC-AC=3-1=2，
BD=DF-BF=3-1=2，
则四边形OCDF的面积为3×3=9，
△ACO和△BFO的面积都为$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$，
△ABD的面积为$\frac{1}{2}$×2×2=2，
所以△ABO的面积为9-2×$\frac{3}{2}$-2=4；
（2）能，设E（x，0），
由题意得：S_△OBE=$\frac{1}{2}$S_△ABO，
$\frac{1}{2}$OE•BF=4，
$\frac{1}{2}$OE×1=4，
OE=8，
∴x=±8，
∴E点坐标为（8，0）或（-8，0）．

点评 本题考查了坐标与图形的性质，在计算一些不规则图形面积时，可以转化为一些以求面积的图形的和或差来的问题解决．