Question

从正方形ABCD的顶点A作∠EAF=45°，交DC于点F，BC于点E．
（1）问DF+BE=EF吗？
（2）过点A作AP⊥EF于P，求证：AP=AB．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，根据旋转的性质可得BE=DH，AE=AH，∠BAE=∠DAH，然后求出∠EAF=∠HAF=45°，再利用“边角边”证明△AEF和△AHF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=HF，再根据DF+DH=FH等量代换即可得证；
（2）根据全等三角形对应边上的高相等可得AP=AD，再根据AB=AD等量代换即可得证．

解答：（1）解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
由旋转的性质得，BE=DH，AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠HAF=45°，
在△AEF和△AHF中，

AE=AH ∠EAF=∠HAF=45° AF=AF

，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF=HF，
∵DF+DH=FH，
∴DF+BE=EF；

（2）∵△AEF≌△AHF，AP、AD分别是△AEF和△AHF对应边上的高，
∴AP=AD，
∵AB=AD，
∴AP=AB．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．