Question

如图所示，⊙O中，AB、CD是弦，点E、F是AB、CD的中点，并且AB=CD．
（1）求证：∠AEF=∠CFE；
（2）若∠EOF=120°，OE=4cm，求EF的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）利用同圆或等圆中相等的弦所对的弧、弦心距相等可得EO=FO，进而得到∠OEF=∠OFE，从而可得∠AEO-∠FEO=∠CFO-∠OFE，进而得到∠AEF=∠CFE；
（2）过O作OM⊥EF，根据三角形内角和定理可得∠OEF=30°，再根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得MO长度，利用勾股定理计算出EM长，进而可得EF长．

解答：（1）证明：∵点E、F是AB、CD的中点，
∴EO⊥AB，FO⊥CD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
∴OE和OF是圆的两条弦的弦心距，
∵AB，CD是⊙O的两条弦，AB=CD，
∴EO=FO，
∴∠OEF=∠OFE，
∴∠AEO-∠FEO=∠CFO-∠OFE，
∴∠AEF=∠CFE；

（2）过O作OM⊥EF，
∵∠EOF=120°，
∴∠OEF=30°，
∴MO=

1

2

EO=2，
∴EM=

EO2-MO2

=

16-4

=2

3

，
∴EF=4

3

．

点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的将证明弦心距转化为证明两弦相等．