Question

【题目】等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，两边分别交BC、CD于M、N．

（1）如图①，作AE⊥AN交CB的延长线于E，求证：△ABE≌△AND；

（2）如图②，若M、N分别在边CB、DC所在的直线上时.

①求证：BM+MN=DN；②如图③，作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点，若MN=10，CM=8，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②AP=3.

【解析】

（1）利用互余判断出∠EAB=∠NAD，即可得出结论；

（2）先构造出△ADG≌△ABM，进而判断出，△AMG为等腰直角三角形，即可得出NM=NG，即可得出结论；

（3）由（2）得出MN+BM=DN，进而得出CN=18-2BC，再利用勾股定理得求出CN=6，在判断出△ABP∽△ACN，得出，再利用勾股定理求出AN，代入即可得出结论．

解：（1）如图①，

∵AE垂直于AN，

∴∠EAB+∠BAN=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∴∠NAD+∠BAN=90°，

∴∠EAB=∠NAD，

又∵∠ABE=∠D=90°，AB=AD，

∴△ABE≌△AND；………………

（2）如图②，在ND上截取DG=BM，连接AG、MG，

∵AD=AB，∠ADG=∠ABM=90°，

∴△ADG≌△ABM，

∴AG=AM，∠MAB=∠GAD，

∵∠BAD=∠BAG+∠GAD=90°，

∴∠MAG=∠BAG+∠MAB=90°，

∴△AMG为等腰直角三角形，

∴AN⊥MG，

∴AN为MG的垂直平分线，

∴NM=NG，

∴DN﹣BM=MN，

即MN+BM=DN；

（3）如图③，连接AC，同（2），证得

MN+BM=DN，

∴MN+CM﹣BC=DC+CN，

∴CM﹣CN+MN=DC+BC=2BC，

即8﹣CN+10=2BC，

即CN=18﹣2BC，

在Rt△MNC中，

根据勾股定理得MN2=CM2+CN2，即102=82+CN2，

∴CN=6，

∴BC=6，

∴AC=6，

∵∠BAP+∠BAQ=45°，∠NAC+∠BAQ=45°，

∴∠BAP=∠NAC，

又∵∠ABP=∠ACN=135°，

∴△ABP∽△ACN，

∴

在Rt△AND中，

根据勾股定理得AN2=AD2+DN2=36+144，

解得AN=6，

∴，

∴AP=3．