Question

【题目】尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分：

①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；

②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G；

③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构成的多边形面积为_____．

Answer 1

【答案】2r2

【解析】

根据作法得到六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，则有∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，利用特殊角的三角函数值得到CD=r，AC＝r，再利用作法得到GO⊥AD，利用勾股定理求得OG=r，然后判断以OG长为半径，从点A 开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成了正方形，再利用正方形的面积公式进行计算即可.

连接AD、AC、AG，如图，

∵将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点，

∴∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，

∴CD＝ADsin30°=r，AC＝ADcos30°=r，

∵GA＝GD，

∴GO⊥AD，

∴OG＝，

以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成的多边形为正方形，

∴这个多边形面积＝rr＝2r2，

故答案为：2r2．