【题目】直觉的误差:有一张8cm×8cm的正方形纸片,面积是64cm2.把这些纸片按图1所示剪开成四小块,其中两块是三角形,另外两块是梯形.把剪出的4个小块按图2所示重新拼合,这样就得到了一个13cm×5cm的长方形,面积是65cm2,面积多了1cm2,这是为什么?
小明给出如下证明:如图2,可知,tan∠CEF=,tan∠EAB=
,∵tan∠CEF>tan∠EAB,∴∠CEF>∠EAB,∵EF∥AB,∴∠EAB+∠AEF=180°,∴CEF+∠AEF>180°,因此A、E、C三点不共线.同理A、G、C三点不共线,所以拼合的长方形内部有空隙,故面积多了1cm2
(1)小红给出的证明思路为:以B为原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,证明三点不共线.请你帮小红完成她的证明;
(2)将13cmx13cm的正方形按上述方法剪开拼合,是否可以拼合成一个长方形,但面积少了1cm2?如果能,求出剪开的三角形的短边长;如果不能,说明理由.
【答案】(1) 见解析;(2) 5cm
【解析】
(1)以B为原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,在Rt△EFC中,求出EC的长,在直角梯形ABFE中,求出AE长,若A、E、C三点共线,则在Rt△ABC中,利用勾股定理求出AC长,比较AC与AE+EC的大小即可得出结论;
(2)设剪开的长方形短边长为xcm,根据题意可得关于x的方程,解方程即可求得答案.
(1)以B为原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,
在Rt△EFC中,EC=,
在直角梯形ABFE中,过点E作EM⊥AB,则四边形BFEM是矩形,
∴BM=EF=3,
∴AM=5-3=2,
∴AE=,
若A、E、C三点共线,则在Rt△ABC中,
AC=,
∵,
∴A、E、C三点共线不共线,
∴所以拼合的长方形内部有空隙;
(2)设剪开的长方形短边长为xcm,
根据题意可得:
(13﹣x)(13+13﹣x)=13×13﹣1,
∴x2﹣39x+170=0,
∴x=5或x=34(舍),
∴可以拼成成一个长方形,但面积少了1cm2,剪开的三角形的短边长是5cm.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,F是⊙O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O的切线BC于点C,过点E作ED⊥AF,交AF的延长线于点D.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=3,CE=2,
①求值;
②若点G 为AE上一点,求OG+EG最小值.
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【题目】如图,已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点,点B是弧的中点,点P是半径ON上的点.若⊙O的半径为l,则AP+BP的最小值为( )
A. 2B. C.
D. 1
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【题目】如图所示,已知抛物线y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx+b的图象相交于A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4)两点,点P是抛物线上不与A,B重合的一个动点,点Q是y轴上的一个动点.
(1)请直接写出a,k,b的值及关于x的不等式ax2<kx﹣2的解集;
(2)当点P在直线AB上方时,请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标;
(3)是否存在以P,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中.传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分:
①将半径为r的⊙O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个分点;
②分别以点A,D为圆心,AC长为半径画弧,两弧相交于点G;
③连接OG,以OG长为半径,从点A开始,在圆周上依次截取,刚好将圆等分.顺次连接这些等分点构成的多边形面积为_____.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(2,﹣1)、B(
,n)两点.直线y=2与y轴交于点C.
1)求一次函数与反比例函数的解析式;
2)求△ABC的面积;
3)直接写出不等式kx+b>在如图所示范围内的解集.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=,BC=2.现分别任作△ABC的内接矩形P1Q1M1N1,P2Q2M2N2,P3Q3M3N3,设这三个内接矩形的周长分别为c1、c2,c3,则c1+c2+c3的值是( )
A. 6B. C. 12D.
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【题目】如图,EF是一面长18米的墙,用总长为32米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD,中间用栅栏隔成同样三块.若要围成的矩形面积为60平方米,求AD的长.
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【题目】如图,在⊙O中,AB是直径,AD是弦,∠ADE = 60°,∠C = 30°.
⑴判断直线CD是否是⊙O的切线,并说明理由;
⑵若CD = ,求BC的长.
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