【题目】如图,在⊙O中,AB是直径,AD是弦,∠ADE = 60°,∠C = 30°.
⑴判断直线CD是否是⊙O的切线,并说明理由;
⑵若CD = ,求BC的长.
【答案】(1)CD是⊙O的切线.
证明:如图,连接OD.
∵∠ADE=60°,∠C=30°,∴∠A=30°.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=30°.
∴∠ODE=∠ODA+∠ADE=30°+60°=90°,∴OD⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
(2)解:在Rt△ODC中,∠ODC=90°, ∠C=30°, CD=.
∵tanC=,
∴OD=CD·tanC=×=3.
∴OC=2OD =6.
∵OB=OD=3,∴BC=OC-OB=6-3=3.
【解析】(1)根据切线的判定定理,连接OD,只需证明OD⊥CD,根据三角形的外角的性质得∠A=30°,再根据等边对等角得∠ADO=∠A,从而证明结论;
(2)在30°的直角三角形OCD中,求得OD,OC的长,则BC=OC-OB.
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【题目】直觉的误差:有一张8cm×8cm的正方形纸片,面积是64cm2.把这些纸片按图1所示剪开成四小块,其中两块是三角形,另外两块是梯形.把剪出的4个小块按图2所示重新拼合,这样就得到了一个13cm×5cm的长方形,面积是65cm2,面积多了1cm2,这是为什么?
小明给出如下证明:如图2,可知,tan∠CEF=,tan∠EAB=,∵tan∠CEF>tan∠EAB,∴∠CEF>∠EAB,∵EF∥AB,∴∠EAB+∠AEF=180°,∴CEF+∠AEF>180°,因此A、E、C三点不共线.同理A、G、C三点不共线,所以拼合的长方形内部有空隙,故面积多了1cm2
(1)小红给出的证明思路为:以B为原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,证明三点不共线.请你帮小红完成她的证明;
(2)将13cmx13cm的正方形按上述方法剪开拼合,是否可以拼合成一个长方形,但面积少了1cm2?如果能,求出剪开的三角形的短边长;如果不能,说明理由.
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【题目】如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连结PE、PO,当m为何值时,四边形AOPE面积最大,并求出其最大值;
(3)如图②,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=2,D是AB边上一个动点(不与点A、B重合),E是BC边上一点,且∠CDE=30°.设AD=x,BE=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF,下列说法不正确的是
A. 四边形CEDF是平行四边形
B. 当时,四边形CEDF是矩形
C. 当时,四边形CEDF是菱形
D. 当时,四边形CEDF是菱形
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【题目】如图,是☉O的直径,点在☉O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC,过点O作OD⊥AC交☉O于点D,连接CD.若∠A=30°,PC=6,则CD的长为
A. B. C. 3D.
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【题目】某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品,其中小笔记本每本5元,大笔记本每本7元,钢笔每支10元,购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍,共花费346元,若使购买的奖品总数最多,则这三种奖品中,大笔记本购买的数量是____本.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A的坐标是(1,3),将点A绕原点O顺时针旋转90°得到点A′,则点A′的坐标是( )
A. (-3,1) B. (3,-1) C. (-1,3) D. (1,-3)
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【题目】某商场用24000元购入一批空调,然后以每台3000元的价格销售,因天气炎热,空调很快售完;商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调,数量是第一次购入的2倍,但购入的单价上调了200元,售价每台也上调了200元.
(1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元?
(2)商场既要尽快售完第二次购入的空调,又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于22%,打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售,最多可将多少台空调打折出售?
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