Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，四边形DEGF为内接正方形，那么AD：DE：EB为（　　）

• A． 16：12：9
• B． 16：9：25
• C． 9：12：16
• D． 3：4：5

Answer 1

分析 作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长，同理可得出AD及BE的长，进而得出结论．

解答 解：作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
在Rt△ABC中，
∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴$\frac{1}{2}$AB•CN=$\frac{1}{2}$BC•AC，
CN=$\frac{24}{5}$，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CN}=\frac{GF}{AB}$，
设正方形边长为x，
则$\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}$=$\frac{x}{5}$，解得x=$\frac{120}{37}$；
∵GD⊥AB，
∴∠ADG=∠C，∠A=∠A，
∴△ADG∽ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DG}{BC}$，即$\frac{AD}{8}$=$\frac{\frac{120}{7}}{6}$，解得AD=$\frac{160}{37}$；
同理，$\frac{BE}{BC}=\frac{EF}{AC}$，即$\frac{BE}{6}=\frac{\frac{120}{37}}{8}$，解得BE=$\frac{90}{37}$，
∴AD：DE：EB=$\frac{160}{37}$：$\frac{120}{37}$：$\frac{90}{37}$=16：12：9．
故选A．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．